A aritmética

A aritmética é o ramo da matemática que lida com números e com as operações possíveis entre eles.

As operações aritméticas tradicionais são a adição, a subtração, a multiplicação e a divisão, embora operações mais avançadas (tais como as manipulações de porcentagens, raiz quadrada, exponenciação e funções logarítmicas) também sejam por vezes incluídas neste ramo. A aritmética desenrola-se em obediência a uma ordem de operações.

A aritmética abrange o estudo de algoritmos manuais para a realização de operações com osnúmeros naturais, inteiros, racionais (na forma de frações) e reais. Tais operações, no entanto, podem ser realizadas com o uso de ferramentas como calculadoras, computadores ou o ábaco, o que não lhes tira o carácter aritmético.

O termo aritmética também é usado em referência à teoria dos números. Isto inclui as propriedades dos inteiros relacionados com a primalidade, a divisibilidade e a solução de equações em inteiros, bem como a pesquisa moderna que tem surgido deste estudo. É neste contexto que se pode encontrar coisas como o teorema fundamental da aritmética e funções aritméticas.

O termo 'aritmética' (português) provém do grego 'arithmós', que se refere aos números, enquanto o prefixo 'ar_' implica reunir, isto é, aritmética é a ciência que reúne - soma, subtrai, multiplica, divide - números. Trata-se, portanto, da parte da matemática que estuda as operações numéricas e, por extensão de sentido, significa tudo que pressupõe um cálculoqualquer.

A matemática pura

A matemática pura é a matemática propriamente dita.
Ela possui ramos dedicados às suas aplicações, que vulgarmente chamamos de matemática aplicada. O que as distingue é o facto de a matemática pura não ter preocupações com a sua possível aplicação. No entanto, o que aparentemente hoje não é aplicável em nada, acaba por muitas vezes ser útil mais tarde.

Os principais temas estudados são a álgebra, geometria e análise.

[editar]Álgebra

A disciplina matemática que estuda as relações entre números por intermédio de expressões simbólicas gerais é denominada álgebra. A álgebra surgiu a partir da aritmética, estágio inicial da evolução da matemática, provavelmente na Babilônia, quando foram criadas as equações e os métodos para reduzi-las. No século XVI, várias iniciativas se tomaram no sentido de simplificar a representação de fórmulas algébricas, mas atribui-se a François Viète a primeira sistematização de uma linguagem de sinais algébricos.

Em 1591, no livro Isagoge in artem analyticam (Introdução à arte analítica), Viète empregou vogais para denotar incógnitas, e consoantes para as grandezas constantes. As potências de um número "A" eram assim escritas: Aq(quadrado), Ac(cubo), Aqq(duplo quadrado).

Foi Descartes quem primeiro utilizou as letras x, y e z para as incógnitas e a, b e c para as constantes e quem empregou expoentes em potências. A solução de sistemas de equações lineares por meio de matrizes e determinantes parece ter sido idéia de Leibniz, mas o primeirotratamento sistemático da teoria dos determinantes deve-se a Alexandre-Theóphile Vandermonde, em 1771, e Pierre-Simon Laplace, em 1772.

Nos séculos seguintes os matemáticos dedicaram-se a encontrar métodos gerais para solucionar equações algébricas de diferentes graus.

A teoria dos números

A teoria dos números é o ramo da matemática pura que estuda propriedades dos números em geral, e em particular dos números inteiros, bem como a larga classe de problemas que surge no seu estudo.

A teoria dos números pode ser subdividida em muitas áreas, de acordo com o método utilizado e do tipo de questão investigada.

O termo “aritmética” é também utilizado para se referir à teoria dos números. Esse é um termo antigo, que não é mais tão popular como já foi. A teoria dos números foi também chamada de aritmética superior, mas esse termo também caiu em desuso. Entretanto, esse termo ainda aparece nos nomes de objetos matemáticos relacionados (funções aritméticas, aritmética de curvas elípticas, teorema fundamental da aritmética). Esse sentido do termo aritmética não deve ser confundido ou com aritmética elementar, ou com o ramo da lógica que estuda aritmética de Peano como um sistema formal. Os matemáticos que trabalham na área de teoria dos números são chamados teoristas dos números.

Tradicionalmente, a teoria dos números é o ramo da matemática pura que se preocupa com as propriedades dos números inteiros e que envolve muitos problemas que são facilmente compreendidos mesmo por não-matemáticos. A disciplina veio a ocupar-se com uma classe mais vasta de problemas que surgiram naturalmente do estudo dos números inteiros. A teoria dos números pode ser subdividida em vários campos, de acordo com os métodos que são usados e das questões que são investigadas, a saber:

• Teoria elementar dos números: utiliza somente os métodos elementares da aritmética para a verificação e comprovação das propriedades essenciais do conjunto dos números inteiros e em particular as propriedades dos números primos;
• Teoria analítica dos números: utiliza a análise real e análise complexa, especialmente para estudar as propriedades dos números primos;
• Teoria algébrica dos números: utiliza álgebra abstrata e estuda os números algébricos;
• Teoria geométrica dos números: utiliza métodos geométricos, algébricos e analíticos.

Índice  [esconder] 1 Sobre a teoria elementar dos números 2 Propriedades dos números primos 2.1 Teorema de Euclides 2.2 Conjectura de Goldbach 3 Algoritmos eficientes para a aritmética básica 4 Ver também

[editar]Sobre a teoria elementar dos números

Normalmente, o primeiro contacto com a teoria dos números é por meio da teoria elementar dos números. Através desta disciplina podem ser introduzidas propriedades bastante interessantes e notáveis dos números inteiros, mas, que ao serem propostas como questões a serem resolvidas, ou teoremas a serem provados, são geralmente de difícil solução ou comprovação. Estas questões estão ligadas basicamente a três tipos de pesquisas, a saber:

1. Estudos específicos sobre as propriedades dos números primos;
2. Estudos envolvendo a pesquisa de algoritmos eficientes para a aritmética básica;
3. Estudos sobre a resolução de equações diofantinas.

Estas questões directamente ligadas ao estudo do conjunto dos números inteiros e o seu subconjunto: o conjunto dos números naturais.

A título de ilustração, alguns dos muitos problemas que podem ser focalizados nestas três áreas da teoria elementar dos números são, a seguir, rapidamente comentados.

[editar]Propriedades dos números primos

O wikilivro Teoria de números tem uma página sobre Teorema de Euclides

[editar]Teorema de Euclides

"Existe uma quantidade infinita de números primos."

Euclides demonstrou este teorema da seguinte forma:

Sabe-se que os números inteiros são primos ou múltiplos de primos. Isso é facilmente verificado quando factorizamos um número inteiro em números primos. Exs: 8 = 2*2*2; 10 = 5*2; 42 = 3*2*7. (lembrando que 2, 3, 5 e 7 são inteiros primos).

Para um número inteiro qualquer "M" temos a sua decomposição em factores primos (fatoração ou factorização) da seguinte forma: (P' * P" * P"' * ...), onde P é um número primo qualquer que faz parte de sua factorização. E sabe-se que nenhum dos números primos que compõem a factorização de M, integram a factorização de M+1. Isso significa que dois números inteiros consecutivos possuem factorizações totalmente diferentes.

A jogada de mestre de Euclides foi que:

Suponhamos que os números primos sejam finitos. Então existe um número hipotético X cuja decomposição em factores primos é a multiplicação de todos os primos existentes (P' * P" * P"' * ...). Sendo assim o número seguinte X+1 não possui na sua factorização nenhum dos primos citados na decomposição em factores do seu antecessor X. Logo X+1 é outro primo ou multiplo de um primo que não está na lista de primos.

Assim, Euclides provou por 'Absurdo' que o conjunto dos números primos é infinito.

[editar]Conjectura de Goldbach

Ver artigo principal: Conjectura de Goldbach

"Pode-se exprimir os números pares, maiores que 2, como a soma de dois números primos?"

Esta é a denominada Conjectura de Goldbach, formulada em 1746 e até hoje não provada, apesar de ter sido verificada para números da ordem de 4*10^14.

Quantos números primos terminam com o dígito 7? Seriam infinitos? São 664579 os números primos menores que 10 milhões, sendo que os números primos que terminam em 1, 3, 7 e 9 respectivamente são 166104, 166230, 166211 e 166032, isto corresponde a 24.99%, 25.01%, 25.01% e 24.98% deste total de números. O que isto sugere?

Há infinitos pares de números denominados primos gêmeos: números primos que diferem um do outro de apenas duas unidades, como (3 ; 5), (71 ; 73) ou (1000000007; 1000000009)?

[editar]Algoritmos eficientes para a aritmética básica

Muitas das modernas aplicações que estão a ser levadas a efeito no campo da criptografia dependem de algumas das propriedades dos números inteiros e dos números primos. No entanto, as aplicações aritméticas envolvendo as propriedades dos números inteiros estão directamente relacionadas com a capacidade de se resolver dois problemas fundamentais:

1. o problema do teste para verificar se o número é primo;
2. o problema da decomposição em factores primos.

Aparentemente são problemas de simples solução, até que passem a envolver numerais com dezenas e até centenas de dígitos.

[editar]Ver também

O Wikilivros tem um livro chamadoTeoria de números

• Aritmética

Categoria: Teoria dos números